CABAN Piotr A-51  25.10.10

Rozwiązania zadań z wykładu pierwszego

TREŚĆ ZADANIA A3:

3. Równanie ruchu ma taką samą postać moment bezwładności taką samą wartość  jak w poprzednim zadaniu. Jednakże

gdzie moment M wyrażony jest w Nm, gdy czas t jest podstawiony jest w sekundach. Rozwiązać równanie ruchu dla obydwu warunków początkowych podanych w poprzednim zadaniu. Narysować wykresy funkcji α(t) oraz ω(t).

W przedziale  0 ≤ t ≤7,5s równanie ruchu ma postać . Należy je rozwiązać. Będąca rozwiązaniem funkcja  α(t) powinna być parabolą trzeciego stopnia, funkcja ω(t) – parabola drugiego stopnia. Należy obliczyć wartości α i ω dla t = 7,5 s. W przedziale t > 7,5 równanie ruchu ma postać jak w zadaniu A2. Wartości  α i ω dla t = 7,5 s należy wykorzystać jako warunki początkowe rozwiązania dla t > 7,5 s. Wykonując wykres w Excelu należy zadbać aby program „znał” wartości α i ω dla t = 7,5 s. Jeżeli w tablicy Excela wartości te zostaną pominięte, to na wykresach pojawią się niczym nie uzasadnione skoki.

ROZWIĄZANIE:

a- kąt obrotu

w- prędkość kątowa

M=15[Nm]- moment siły

J=10 [kg*m^2] - moment bezwładności

t- czas

1) Dla  0 ≤ t ≤ 7,5s dane jest rówanie:

, dla zgodności jednostek do równania ‘dokładam’ stałą x=1[Nm/s]:

Liczę całki po czasie, gdzie J i x to stałe:

, co daje:

wiedząc, że   to: , następnie:

i ostatecznie:

Z warunków początkowych (dla t=0, a=0, w=0) wiemy, ze c1 i c2 równe są zero, wiec:

           oraz          

Dla t=7,5[s]:     

2) Dla  t>7,5s dane jest rówanie:

Liczę całki po czasie, gdzie J i M to stałe:

, co daje:

, wiedząc, że   to:

, następnie:

i ostatecznie:

Gdzie warunkami początkowymi ruchu są warunki końcowe ruchu dla 0 ≤ t ≤ 7,5s, czyli:

         oraz       

Dla t=15[s] (suma 7,5s ruchu dla M=2t oraz 7,5s ruchu dla M=15Nm):

WYKRESY:

2